แก้โจทย์ {l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9x+my+3=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x+my=-3$$

ลบ my จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

คูณ \frac{1}{9} ด้วย -my-3

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

ทดแทน -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง mx+4y+2=0

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

คูณ m ด้วย -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

เพิ่ม -\frac{m^{2}y}{9} ไปยัง 4y

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

ลบ -\frac{m}{3}+2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -\frac{m^{2}}{9}+4

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

ทดแทน -\frac{3}{6+m} สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

คูณ -\frac{m}{9} ด้วย -\frac{3}{6+m}

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

เพิ่ม -\frac{1}{3} ไปยัง \frac{m}{3\left(6+m\right)}

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

เพื่อทำให้ 9x และ mx เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย m และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 9

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

ลบ 9mx+36y+18=0 จาก 9mx+m^{2}y+3m=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

เพิ่ม 9mx ไปยัง -9mx ตัดพจน์ 9mx และ -9mx ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

เพิ่ม m^{2}y ไปยัง -36y

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

ลบ -18+3m จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

หารทั้งสองข้างด้วย m^{2}-36

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

ทดแทน -\frac{3}{6+m} สำหรับ y ใน mx+4y+2=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{3}{6+m}

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

เพิ่ม -\frac{12}{6+m} ไปยัง 2

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

ลบ \frac{2m}{6+m} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

หารทั้งสองข้างด้วย m

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

หาค่า x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9x+my+3=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x+my=-3$$

ลบ my จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

คูณ \frac{1}{9} ด้วย -my-3

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

ทดแทน -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง mx+4y+2=0

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

คูณ m ด้วย -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

เพิ่ม -\frac{m^{2}y}{9} ไปยัง 4y

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

ลบ -\frac{m}{3}+2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -\frac{m^{2}}{9}+4

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

ทดแทน -\frac{3}{6+m} สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

คูณ -\frac{m}{9} ด้วย -\frac{3}{6+m}

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

เพิ่ม -\frac{1}{3} ไปยัง \frac{m}{3\left(6+m\right)}

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

เพื่อทำให้ 9x และ mx เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย m และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 9

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

ลบ 9mx+36y+18=0 จาก 9mx+m^{2}y+3m=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

เพิ่ม 9mx ไปยัง -9mx ตัดพจน์ 9mx และ -9mx ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

เพิ่ม m^{2}y ไปยัง -36y

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

ลบ -18+3m จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

หารทั้งสองข้างด้วย m^{2}-36

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

ทดแทน -\frac{3}{6+m} สำหรับ y ใน mx+4y+2=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{3}{6+m}

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

เพิ่ม -\frac{12}{6+m} ไปยัง 2

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

ลบ \frac{2m}{6+m} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

หารทั้งสองข้างด้วย m

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$