แก้โจทย์ {l}{8x+7y=1}{5x+6y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 7 y = 1 } \\ { 5 x + 6 y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x+7y=1$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=-7y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{8}\left(-7y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย -7y+1

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}$$

ทดแทน \frac{-7y+1}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+6y=1

$$5\left(-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}\right)+6y=1$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-7y+1}{8}

$$-\frac{35}{8}y+\frac{5}{8}+6y=1$$

เพิ่ม -\frac{35y}{8} ไปยัง 6y

$$\frac{13}{8}y+\frac{5}{8}=1$$

ลบ \frac{5}{8} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{13}{8}y=\frac{3}{8}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{8} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{3}{13}$$

ทดแทน \frac{3}{13} สำหรับ y ใน x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{7}{8}\times \frac{3}{13}+\frac{1}{8}$$

คูณ -\frac{7}{8} ครั้ง \frac{3}{13} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{21}{104}+\frac{1}{8}$$

เพิ่ม \frac{1}{8} ไปยัง -\frac{21}{104} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{8\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{8\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{8\times 6-7\times 5}&\frac{8}{8\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{8}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-7}{13}\\\frac{-5+8}{13}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

เพื่อทำให้ 8x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$5\times 8x+5\times 7y=5,8\times 5x+8\times 6y=8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$40x+35y=5,40x+48y=8$$

ลบ 40x+48y=8 จาก 40x+35y=5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$40x-40x+35y-48y=5-8$$

เพิ่ม 40x ไปยัง -40x ตัดพจน์ 40x และ -40x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$35y-48y=5-8$$

เพิ่ม 35y ไปยัง -48y

$$-13y=5-8$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -8

$$-13y=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$y=\frac{3}{13}$$

ทดแทน \frac{3}{13} สำหรับ y ใน 5x+6y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+6\times \frac{3}{13}=1$$

คูณ 6 ด้วย \frac{3}{13}

$$5x+\frac{18}{13}=1$$

ลบ \frac{18}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-\frac{5}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=-\frac{1}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$