แก้โจทย์ {l}{7x-5y=-22}{4x+3y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 5 y = - 22 } \\ { 4 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-5y=-22$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=5y-22$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(5y-22\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย 5y-22

$$x=\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}$$

ทดแทน \frac{5y-22}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+3y=5

$$4\left(\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}\right)+3y=5$$

คูณ 4 ด้วย \frac{5y-22}{7}

$$\frac{20}{7}y-\frac{88}{7}+3y=5$$

เพิ่ม \frac{20y}{7} ไปยัง 3y

$$\frac{41}{7}y-\frac{88}{7}=5$$

เพิ่ม \frac{88}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{41}{7}y=\frac{123}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{41}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{7}y-\frac{22}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{7}\times 3-\frac{22}{7}$$

คูณ \frac{5}{7} ด้วย 3

$$x=\frac{15-22}{7}$$

เพิ่ม -\frac{22}{7} ไปยัง \frac{15}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{7}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\left(-22\right)+\frac{5}{41}\times 5\\-\frac{4}{41}\left(-22\right)+\frac{7}{41}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

เพื่อทำให้ 7x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$4\times 7x+4\left(-5\right)y=4\left(-22\right),7\times 4x+7\times 3y=7\times 5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$28x-20y=-88,28x+21y=35$$

ลบ 28x+21y=35 จาก 28x-20y=-88 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$28x-28x-20y-21y=-88-35$$

เพิ่ม 28x ไปยัง -28x ตัดพจน์ 28x และ -28x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-20y-21y=-88-35$$

เพิ่ม -20y ไปยัง -21y

$$-41y=-88-35$$

เพิ่ม -88 ไปยัง -35

$$-41y=-123$$

หารทั้งสองข้างด้วย -41

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน 4x+3y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+3\times 3=5$$

คูณ 3 ด้วย 3

$$4x+9=5$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=3$$