แก้โจทย์ {l}{7x-3y=20}{y=5x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 3 y = 20 } \\ { y = 5 x - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=-9$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$y-5x=-4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x-3y=20,-5x+y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-3y=20$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=3y+20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(3y+20\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย 3y+20

$$x=\frac{3}{7}y+\frac{20}{7}$$

ทดแทน \frac{3y+20}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -5x+y=-4

$$-5\left(\frac{3}{7}y+\frac{20}{7}\right)+y=-4$$

คูณ -5 ด้วย \frac{3y+20}{7}

$$-\frac{15}{7}y-\frac{100}{7}+y=-4$$

เพิ่ม -\frac{15y}{7} ไปยัง y

$$-\frac{8}{7}y-\frac{100}{7}=-4$$

เพิ่ม \frac{100}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{8}{7}y=\frac{72}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{8}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-9$$

ทดแทน -9 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{7}y+\frac{20}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{20}{7}$$

คูณ \frac{3}{7} ด้วย -9

$$x=\frac{-27+20}{7}$$

เพิ่ม \frac{20}{7} ไปยัง -\frac{27}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-9$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$y-5x=-4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x-3y=20,-5x+y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&-3\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&-3\\-5&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-3\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{7-\left(-3\left(-5\right)\right)}&\frac{7}{7-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{5}{8}&-\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 20-\frac{3}{8}\left(-4\right)\\-\frac{5}{8}\times 20-\frac{7}{8}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=-9$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$y-5x=-4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x-3y=20,-5x+y=-4$$

เพื่อทำให้ 7x และ -5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$-5\times 7x-5\left(-3\right)y=-5\times 20,7\left(-5\right)x+7y=7\left(-4\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-35x+15y=-100,-35x+7y=-28$$

ลบ -35x+7y=-28 จาก -35x+15y=-100 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-35x+35x+15y-7y=-100+28$$

เพิ่ม -35x ไปยัง 35x ตัดพจน์ -35x และ 35x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$15y-7y=-100+28$$

เพิ่ม 15y ไปยัง -7y

$$8y=-100+28$$

เพิ่ม -100 ไปยัง 28

$$8y=-72$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=-9$$

ทดแทน -9 สำหรับ y ใน -5x+y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-5x-9=-4$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-9$$