แก้โจทย์ {l}{7x+5y=-3}{-9x+y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 3 } \\ { - 9 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x+5y=-3$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-5y-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-3\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย -5y-3

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}$$

ทดแทน \frac{-5y-3}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -9x+y=-11

$$-9\left(-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}\right)+y=-11$$

คูณ -9 ด้วย \frac{-5y-3}{7}

$$\frac{45}{7}y+\frac{27}{7}+y=-11$$

เพิ่ม \frac{45y}{7} ไปยัง y

$$\frac{52}{7}y+\frac{27}{7}=-11$$

ลบ \frac{27}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{52}{7}y=-\frac{104}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{52}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{7}\left(-2\right)-\frac{3}{7}$$

คูณ -\frac{5}{7} ด้วย -2

$$x=\frac{10-3}{7}$$

เพิ่ม -\frac{3}{7} ไปยัง \frac{10}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{7-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{7-5\left(-9\right)}&\frac{7}{7-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}&-\frac{5}{52}\\\frac{9}{52}&\frac{7}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}\left(-3\right)-\frac{5}{52}\left(-11\right)\\\frac{9}{52}\left(-3\right)+\frac{7}{52}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

เพื่อทำให้ 7x และ -9x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$-9\times 7x-9\times 5y=-9\left(-3\right),7\left(-9\right)x+7y=7\left(-11\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-63x-45y=27,-63x+7y=-77$$

ลบ -63x+7y=-77 จาก -63x-45y=27 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-63x+63x-45y-7y=27+77$$

เพิ่ม -63x ไปยัง 63x ตัดพจน์ -63x และ 63x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-45y-7y=27+77$$

เพิ่ม -45y ไปยัง -7y

$$-52y=27+77$$

เพิ่ม 27 ไปยัง 77

$$-52y=104$$

หารทั้งสองข้างด้วย -52

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน -9x+y=-11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-9x-2=-11$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-9x=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-2$$