แก้โจทย์ {l}{6x-5y=-36}{-7x+2y=39}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = - 36 } \\ { - 7 x + 2 y = 39 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{123}{23} = -5\frac{8}{23} \approx -5.347826087$$

$$y=\frac{18}{23}\approx 0.782608696$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-5y=-36$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=5y-36$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-36\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย 5y-36

$$x=\frac{5}{6}y-6$$

ทดแทน \frac{5y}{6}-6 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -7x+2y=39

$$-7\left(\frac{5}{6}y-6\right)+2y=39$$

คูณ -7 ด้วย \frac{5y}{6}-6

$$-\frac{35}{6}y+42+2y=39$$

เพิ่ม -\frac{35y}{6} ไปยัง 2y

$$-\frac{23}{6}y+42=39$$

ลบ 42 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{23}{6}y=-3$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{23}{6} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{18}{23}$$

ทดแทน \frac{18}{23} สำหรับ y ใน x=\frac{5}{6}y-6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{18}{23}-6$$

คูณ \frac{5}{6} ครั้ง \frac{18}{23} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{15}{23}-6$$

เพิ่ม -6 ไปยัง \frac{15}{23}

$$x=-\frac{123}{23}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\left(-36\right)-\frac{5}{23}\times 39\\-\frac{7}{23}\left(-36\right)-\frac{6}{23}\times 39\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{123}{23}\\\frac{18}{23}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

เพื่อทำให้ 6x และ -7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$-7\times 6x-7\left(-5\right)y=-7\left(-36\right),6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\times 39$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-42x+35y=252,-42x+12y=234$$

ลบ -42x+12y=234 จาก -42x+35y=252 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-42x+42x+35y-12y=252-234$$

เพิ่ม -42x ไปยัง 42x ตัดพจน์ -42x และ 42x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$35y-12y=252-234$$

เพิ่ม 35y ไปยัง -12y

$$23y=252-234$$

เพิ่ม 252 ไปยัง -234

$$23y=18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 23

$$y=\frac{18}{23}$$

ทดแทน \frac{18}{23} สำหรับ y ใน -7x+2y=39 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-7x+2\times \frac{18}{23}=39$$

คูณ 2 ด้วย \frac{18}{23}

$$-7x+\frac{36}{23}=39$$

ลบ \frac{36}{23} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7x=\frac{861}{23}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=-\frac{123}{23}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$