แก้โจทย์ {l}{6x+5y=5600}{55x+46y=51400}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 5600 } \\ { 55 x + 46 y = 51400 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=600$$

$$y=400$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x+5y=5600$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-5y+5600$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+5600\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย -5y+5600

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

ทดแทน -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 55x+46y=51400

$$55\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+46y=51400$$

คูณ 55 ด้วย -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}

$$-\frac{275}{6}y+\frac{154000}{3}+46y=51400$$

เพิ่ม -\frac{275y}{6} ไปยัง 46y

$$\frac{1}{6}y+\frac{154000}{3}=51400$$

ลบ \frac{154000}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{6}y=\frac{200}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 6

$$y=400$$

ทดแทน 400 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{6}\times 400+\frac{2800}{3}$$

คูณ -\frac{5}{6} ด้วย 400

$$x=\frac{-1000+2800}{3}$$

เพิ่ม \frac{2800}{3} ไปยัง -\frac{1000}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=600$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=600,y=400$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{6\times 46-5\times 55}&-\frac{5}{6\times 46-5\times 55}\\-\frac{55}{6\times 46-5\times 55}&\frac{6}{6\times 46-5\times 55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46&-5\\-55&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\times 5600-5\times 51400\\-55\times 5600+6\times 51400\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\400\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=600,y=400$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

เพื่อทำให้ 6x และ 55x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 55 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$55\times 6x+55\times 5y=55\times 5600,6\times 55x+6\times 46y=6\times 51400$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$330x+275y=308000,330x+276y=308400$$

ลบ 330x+276y=308400 จาก 330x+275y=308000 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$330x-330x+275y-276y=308000-308400$$

เพิ่ม 330x ไปยัง -330x ตัดพจน์ 330x และ -330x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$275y-276y=308000-308400$$

เพิ่ม 275y ไปยัง -276y

$$-y=308000-308400$$

เพิ่ม 308000 ไปยัง -308400

$$-y=-400$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=400$$

ทดแทน 400 สำหรับ y ใน 55x+46y=51400 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$55x+46\times 400=51400$$

คูณ 46 ด้วย 400

$$55x+18400=51400$$

ลบ 18400 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$55x=33000$$

หารทั้งสองข้างด้วย 55

$$x=600$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=600,y=400$$