แก้โจทย์ {l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$5y+4x=-13$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5y+4x=-13$$

ลบ 4x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=-4x-13$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -4x-13

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

ทดแทน \frac{-4x-13}{5} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 6y+3x=13

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

คูณ 6 ด้วย \frac{-4x-13}{5}

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

เพิ่ม -\frac{24x}{5} ไปยัง 3x

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

เพิ่ม \frac{78}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{9}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{143}{9}$$

ทดแทน -\frac{143}{9} สำหรับ x ใน y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

คูณ -\frac{4}{5} ครั้ง -\frac{143}{9} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

เพิ่ม -\frac{13}{5} ไปยัง \frac{572}{45} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{91}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$5y+4x=-13$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$5y+4x=-13$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

เพื่อทำให้ 5y และ 6y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

ลบ 30y+15x=65 จาก 30y+24x=-78 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

เพิ่ม 30y ไปยัง -30y ตัดพจน์ 30y และ -30y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$24x-15x=-78-65$$

เพิ่ม 24x ไปยัง -15x

$$9x=-78-65$$

เพิ่ม -78 ไปยัง -65

$$9x=-143$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=-\frac{143}{9}$$

ทดแทน -\frac{143}{9} สำหรับ x ใน 6y+3x=13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{143}{9}

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

เพิ่ม \frac{143}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6y=\frac{182}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$y=\frac{91}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$