แก้โจทย์ {l}{5x-8y=9}{2x+y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 y = 9 } \\ { 2 x + y = 12 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-8y=9$$

เพิ่ม 8y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=8y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(8y+9\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 8y+9

$$x=\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}$$

ทดแทน \frac{8y+9}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=12

$$2\left(\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}\right)+y=12$$

คูณ 2 ด้วย \frac{8y+9}{5}

$$\frac{16}{5}y+\frac{18}{5}+y=12$$

เพิ่ม \frac{16y}{5} ไปยัง y

$$\frac{21}{5}y+\frac{18}{5}=12$$

ลบ \frac{18}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{21}{5}y=\frac{42}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{21}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=\frac{8}{5}y+\frac{9}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{8}{5}\times 2+\frac{9}{5}$$

คูณ \frac{8}{5} ด้วย 2

$$x=\frac{16+9}{5}$$

เพิ่ม \frac{9}{5} ไปยัง \frac{16}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{5-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-8\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}&\frac{8}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}\times 9+\frac{8}{21}\times 12\\-\frac{2}{21}\times 9+\frac{5}{21}\times 12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=5,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

เพื่อทำให้ 5x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 9,5\times 2x+5y=5\times 12$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x-16y=18,10x+5y=60$$

ลบ 10x+5y=60 จาก 10x-16y=18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x-16y-5y=18-60$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-16y-5y=18-60$$

เพิ่ม -16y ไปยัง -5y

$$-21y=18-60$$

เพิ่ม 18 ไปยัง -60

$$-21y=-42$$

หารทั้งสองข้างด้วย -21

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 2x+y=12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+2=12$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=2$$