แก้โจทย์ {l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-3y=2$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=3y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 3y+2

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

ทดแทน \frac{3y+2}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+2y=-5

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

คูณ 6 ด้วย \frac{3y+2}{5}

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

เพิ่ม \frac{18y}{5} ไปยัง 2y

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

ลบ \frac{12}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{28}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{37}{28}$$

ทดแทน -\frac{37}{28} สำหรับ y ใน x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

คูณ \frac{3}{5} ครั้ง -\frac{37}{28} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

เพิ่ม \frac{2}{5} ไปยัง -\frac{111}{140} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{11}{28}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

เพื่อทำให้ 5x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

ลบ 30x+10y=-25 จาก 30x-18y=12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

เพิ่ม 30x ไปยัง -30x ตัดพจน์ 30x และ -30x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-18y-10y=12+25$$

เพิ่ม -18y ไปยัง -10y

$$-28y=12+25$$

เพิ่ม 12 ไปยัง 25

$$-28y=37$$

หารทั้งสองข้างด้วย -28

$$y=-\frac{37}{28}$$

ทดแทน -\frac{37}{28} สำหรับ y ใน 6x+2y=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{37}{28}

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

เพิ่ม \frac{37}{14} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-\frac{33}{14}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=-\frac{11}{28}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$