แก้โจทย์ {l}{5x=2(y+1)}{x+10=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 ( y + 1 ) } \\ { x + 10 = 2 y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y+1

$$5x=2y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 2+2y

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}$$

ทดแทน \frac{2+2y}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-2y=-10

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}-2y=-10$$

เพิ่ม \frac{2y}{5} ไปยัง -2y

$$-\frac{8}{5}y+\frac{2}{5}=-10$$

ลบ \frac{2}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{52}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{8}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{13}{2}$$

ทดแทน \frac{13}{2} สำหรับ y ใน x=\frac{2}{5}y+\frac{2}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{13}{2}+\frac{2}{5}$$

คูณ \frac{2}{5} ครั้ง \frac{13}{2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{13+2}{5}$$

เพิ่ม \frac{2}{5} ไปยัง \frac{13}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=\frac{13}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y+1

$$5x=2y+2$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$5x-2y=2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x+10-2y=0$$

ลบ 10 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$x-2y=-10$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-2y=2,x-2y=-10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2-\frac{1}{4}\left(-10\right)\\\frac{1}{8}\times 2-\frac{5}{8}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=\frac{13}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y+1

$$5x=2y+2$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$5x-2y=2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x+10-2y=0$$

ลบ 10 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$x-2y=-10$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-2y=2,x-2y=-10$$

ลบ x-2y=-10 จาก 5x-2y=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-x-2y+2y=2+10$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 2y ตัดพจน์ -2y และ 2y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5x-x=2+10$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -x

$$4x=2+10$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 10

$$4x=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ x ใน x-2y=-10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$3-2y=-10$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2y=-13$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=\frac{13}{2}$$