แก้โจทย์ {l}{5x+y=9.95}{6x+6y=18.60}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9.95 } \\ { 6 x + 6 y = 18.60 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1.7125$$

$$y=1.3875$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+y=9.95$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-y+9.95$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9.95\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -y+9.95

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}$$

ทดแทน -\frac{y}{5}+\frac{199}{100} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+6y=18.6

$$6\left(-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}\right)+6y=18.6$$

คูณ 6 ด้วย -\frac{y}{5}+\frac{199}{100}

$$-\frac{6}{5}y+\frac{597}{50}+6y=18.6$$

เพิ่ม -\frac{6y}{5} ไปยัง 6y

$$\frac{24}{5}y+\frac{597}{50}=18.6$$

ลบ \frac{597}{50} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{24}{5}y=\frac{333}{50}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{24}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{111}{80}$$

ทดแทน \frac{111}{80} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{111}{80}+\frac{199}{100}$$

คูณ -\frac{1}{5} ครั้ง \frac{111}{80} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{111}{400}+\frac{199}{100}$$

เพิ่ม \frac{199}{100} ไปยัง -\frac{111}{400} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{137}{80}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-6}&-\frac{1}{5\times 6-6}\\-\frac{6}{5\times 6-6}&\frac{5}{5\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{24}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 9.95-\frac{1}{24}\times 18.6\\-\frac{1}{4}\times 9.95+\frac{5}{24}\times 18.6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{80}\\\frac{111}{80}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

เพื่อทำให้ 5x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$6\times 5x+6y=6\times 9.95,5\times 6x+5\times 6y=5\times 18.6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$30x+6y=59.7,30x+30y=93$$

ลบ 30x+30y=93 จาก 30x+6y=59.7 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$30x-30x+6y-30y=59.7-93$$

เพิ่ม 30x ไปยัง -30x ตัดพจน์ 30x และ -30x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-30y=59.7-93$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -30y

$$-24y=59.7-93$$

เพิ่ม 59.7 ไปยัง -93

$$-24y=-33.3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -24

$$y=\frac{111}{80}$$

ทดแทน \frac{111}{80} สำหรับ y ใน 6x+6y=18.6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x+6\times \frac{111}{80}=18.6$$

คูณ 6 ด้วย \frac{111}{80}

$$6x+\frac{333}{40}=18.6$$

ลบ \frac{333}{40} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=\frac{411}{40}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{137}{80}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$