แก้โจทย์ {l}{5x+4y=8}{2x-3y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = 8 } \\ { 2 x - 3 y = 17 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+4y=8$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-4y+8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+8\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -4y+8

$$x=-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}$$

ทดแทน \frac{-4y+8}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-3y=17

$$2\left(-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y=17$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-4y+8}{5}

$$-\frac{8}{5}y+\frac{16}{5}-3y=17$$

เพิ่ม -\frac{8y}{5} ไปยัง -3y

$$-\frac{23}{5}y+\frac{16}{5}=17$$

ลบ \frac{16}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{23}{5}y=\frac{69}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{23}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{4}{5}\left(-3\right)+\frac{8}{5}$$

คูณ -\frac{4}{5} ด้วย -3

$$x=\frac{12+8}{5}$$

เพิ่ม \frac{8}{5} ไปยัง \frac{12}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-4\times 2}&-\frac{4}{5\left(-3\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-4\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&\frac{4}{23}\\\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\times 8+\frac{4}{23}\times 17\\\frac{2}{23}\times 8-\frac{5}{23}\times 17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

เพื่อทำให้ 5x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 8,5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 17$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+8y=16,10x-15y=85$$

ลบ 10x-15y=85 จาก 10x+8y=16 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+8y+15y=16-85$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8y+15y=16-85$$

เพิ่ม 8y ไปยัง 15y

$$23y=16-85$$

เพิ่ม 16 ไปยัง -85

$$23y=-69$$

หารทั้งสองข้างด้วย 23

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน 2x-3y=17 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-3\left(-3\right)=17$$

คูณ -3 ด้วย -3

$$2x+9=17$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=-3$$