แก้โจทย์ {l}{5x+(3y-2)=0}{x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + ( 3 y - 2 ) = 0 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-14$$

$$y=24$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+3y-2=0$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x+3y=2$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-3y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -3y+2

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

ทดแทน \frac{-3y+2}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=10

$$-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}+y=10$$

เพิ่ม -\frac{3y}{5} ไปยัง y

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}=10$$

ลบ \frac{2}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{2}{5}y=\frac{48}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{2}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=24$$

ทดแทน 24 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{5}\times 24+\frac{2}{5}$$

คูณ -\frac{3}{5} ด้วย 24

$$x=\frac{-72+2}{5}$$

เพิ่ม \frac{2}{5} ไปยัง -\frac{72}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-14$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-14,y=24$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{3}{5-3}\\-\frac{1}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-\frac{3}{2}\times 10\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{5}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\24\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-14,y=24$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

เพื่อทำให้ 5x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$5x+3y-2=0,5x+5y=5\times 10$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5x+3y-2=0,5x+5y=50$$

ลบ 5x+5y=50 จาก 5x+3y-2=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-5x+3y-5y-2=-50$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y-5y-2=-50$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -5y

$$-2y-2=-50$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2y=-48$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=24$$

ทดแทน 24 สำหรับ y ใน x+y=10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+24=10$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-14$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-14,y=24$$