แก้โจทย์ {l}{4x-7y=23}{6x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = 23 } \\ { 6 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-7y=23$$

เพิ่ม 7y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=7y+23$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+23\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 7y+23

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}$$

ทดแทน \frac{7y+23}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+2y=-3

$$6\left(\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}\right)+2y=-3$$

คูณ 6 ด้วย \frac{7y+23}{4}

$$\frac{21}{2}y+\frac{69}{2}+2y=-3$$

เพิ่ม \frac{21y}{2} ไปยัง 2y

$$\frac{25}{2}y+\frac{69}{2}=-3$$

ลบ \frac{69}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{25}{2}y=-\frac{75}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{25}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7}{4}\left(-3\right)+\frac{23}{4}$$

คูณ \frac{7}{4} ด้วย -3

$$x=\frac{-21+23}{4}$$

เพิ่ม \frac{23}{4} ไปยัง -\frac{21}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{7}{50}\\-\frac{3}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 23+\frac{7}{50}\left(-3\right)\\-\frac{3}{25}\times 23+\frac{2}{25}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

เพื่อทำให้ 4x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$6\times 4x+6\left(-7\right)y=6\times 23,4\times 6x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$24x-42y=138,24x+8y=-12$$

ลบ 24x+8y=-12 จาก 24x-42y=138 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$24x-24x-42y-8y=138+12$$

เพิ่ม 24x ไปยัง -24x ตัดพจน์ 24x และ -24x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-42y-8y=138+12$$

เพิ่ม -42y ไปยัง -8y

$$-50y=138+12$$

เพิ่ม 138 ไปยัง 12

$$-50y=150$$

หารทั้งสองข้างด้วย -50

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน 6x+2y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x+2\left(-3\right)=-3$$

คูณ 2 ด้วย -3

$$6x-6=-3$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$