แก้โจทย์ {l}{4x-3y=21}{x=-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 21 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$x+y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-3y=21,x+y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-3y=21$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=3y+21$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+21\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 21+3y

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}$$

ทดแทน \frac{21+3y}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=0

$$\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+y=0$$

เพิ่ม \frac{3y}{4} ไปยัง y

$$\frac{7}{4}y+\frac{21}{4}=0$$

ลบ \frac{21}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{4}y=-\frac{21}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{21}{4}$$

คูณ \frac{3}{4} ด้วย -3

$$x=\frac{-9+21}{4}$$

เพิ่ม \frac{21}{4} ไปยัง -\frac{9}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$x+y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-3y=21,x+y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 21\\-\frac{1}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$x+y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-3y=21,x+y=0$$

เพื่อทำให้ 4x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$4x-3y=21,4x+4y=0$$

ลบ 4x+4y=0 จาก 4x-3y=21 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x-3y-4y=21$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3y-4y=21$$

เพิ่ม -3y ไปยัง -4y

$$-7y=21$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x+y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-3=0$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=-3$$