แก้โจทย์ {l}{4x=9-3y}{5y=12-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$4x+3y=9$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$5y+5x=12$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+3y=9$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-3y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -3y+9

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

ทดแทน \frac{-3y+9}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+5y=12

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-3y+9}{4}

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

เพิ่ม -\frac{15y}{4} ไปยัง 5y

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

ลบ \frac{45}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{3}{5}$$

ทดแทน \frac{3}{5} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

คูณ -\frac{3}{4} ครั้ง \frac{3}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

เพิ่ม \frac{9}{4} ไปยัง -\frac{9}{20} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{9}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$4x+3y=9$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$5y+5x=12$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$4x+3y=9$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$5y+5x=12$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

เพื่อทำให้ 4x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

ลบ 20x+20y=48 จาก 20x+15y=45 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

เพิ่ม 20x ไปยัง -20x ตัดพจน์ 20x และ -20x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$15y-20y=45-48$$

เพิ่ม 15y ไปยัง -20y

$$-5y=45-48$$

เพิ่ม 45 ไปยัง -48

$$-5y=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=\frac{3}{5}$$

ทดแทน \frac{3}{5} สำหรับ y ใน 5x+5y=12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

คูณ 5 ด้วย \frac{3}{5}

$$5x+3=12$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{9}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$