แก้โจทย์ {l}{4x+3y=25}{x-3y/2=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 25 } \\ { x - \frac { 3 y } { 2 } = - 14 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=9$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x-3y=-28$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+3y=25$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-3y+25$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+25\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -3y+25

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}$$

ทดแทน \frac{-3y+25}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-3y=-28

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}\right)-3y=-28$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-3y+25}{4}

$$-\frac{3}{2}y+\frac{25}{2}-3y=-28$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง -3y

$$-\frac{9}{2}y+\frac{25}{2}=-28$$

ลบ \frac{25}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{9}{2}y=-\frac{81}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{9}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=9$$

ทดแทน 9 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{4}\times 9+\frac{25}{4}$$

คูณ -\frac{3}{4} ด้วย 9

$$x=\frac{-27+25}{4}$$

เพิ่ม \frac{25}{4} ไปยัง -\frac{27}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x-3y=-28$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25+\frac{1}{6}\left(-28\right)\\\frac{1}{9}\times 25-\frac{2}{9}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x-3y=-28$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

เพื่อทำให้ 4x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 25,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-28\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x+6y=50,8x-12y=-112$$

ลบ 8x-12y=-112 จาก 8x+6y=50 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x+6y+12y=50+112$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y+12y=50+112$$

เพิ่ม 6y ไปยัง 12y

$$18y=50+112$$

เพิ่ม 50 ไปยัง 112

$$18y=162$$

หารทั้งสองข้างด้วย 18

$$y=9$$

ทดแทน 9 สำหรับ y ใน 2x-3y=-28 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-3\times 9=-28$$

คูณ -3 ด้วย 9

$$2x-27=-28$$

เพิ่ม 27 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$