แก้โจทย์ {l}{4x+2y=-18}{-2x-5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = - 18 } \\ { - 2 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{35}{8} = -4\frac{3}{8} = -4.375$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+2y=-18$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-2y-18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y-18\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -2y-18

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}$$

ทดแทน \frac{-y-9}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x-5y=10

$$-2\left(-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}\right)-5y=10$$

คูณ -2 ด้วย \frac{-y-9}{2}

$$y+9-5y=10$$

เพิ่ม y ไปยัง -5y

$$-4y+9=10$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4y=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=-\frac{1}{4}$$

ทดแทน -\frac{1}{4} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)-\frac{9}{2}$$

คูณ -\frac{1}{2} ครั้ง -\frac{1}{4} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1}{8}-\frac{9}{2}$$

เพิ่ม -\frac{9}{2} ไปยัง \frac{1}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{35}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\left(-18\right)+\frac{1}{8}\times 10\\-\frac{1}{8}\left(-18\right)-\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{35}{8}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

เพื่อทำให้ 4x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$-2\times 4x-2\times 2y=-2\left(-18\right),4\left(-2\right)x+4\left(-5\right)y=4\times 10$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-8x-4y=36,-8x-20y=40$$

ลบ -8x-20y=40 จาก -8x-4y=36 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-8x+8x-4y+20y=36-40$$

เพิ่ม -8x ไปยัง 8x ตัดพจน์ -8x และ 8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y+20y=36-40$$

เพิ่ม -4y ไปยัง 20y

$$16y=36-40$$

เพิ่ม 36 ไปยัง -40

$$16y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 16

$$y=-\frac{1}{4}$$

ทดแทน -\frac{1}{4} สำหรับ y ใน -2x-5y=10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x-5\left(-\frac{1}{4}\right)=10$$

คูณ -5 ด้วย -\frac{1}{4}

$$-2x+\frac{5}{4}=10$$

ลบ \frac{5}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=\frac{35}{4}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-\frac{35}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$