แก้โจทย์ {l}{3x-7y=-19}{2x-9y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = - 19 } \\ { 2 x - 9 y = - 17 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-4$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-7y=-19,2x-9y=-17$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-7y=-19$$

เพิ่ม 7y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=7y-19$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(7y-19\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 7y-19

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}$$

ทดแทน \frac{7y-19}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-9y=-17

$$2\left(\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}\right)-9y=-17$$

คูณ 2 ด้วย \frac{7y-19}{3}

$$\frac{14}{3}y-\frac{38}{3}-9y=-17$$

เพิ่ม \frac{14y}{3} ไปยัง -9y

$$-\frac{13}{3}y-\frac{38}{3}=-17$$

เพิ่ม \frac{38}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{13}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{13}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=\frac{7}{3}y-\frac{19}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7-19}{3}$$

เพิ่ม -\frac{19}{3} ไปยัง \frac{7}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-7y=-19,2x-9y=-17$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-17\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\-17\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\-17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\-17\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{3\left(-9\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\left(-9\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-9\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-9\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\-17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}&-\frac{7}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\-17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\left(-19\right)-\frac{7}{13}\left(-17\right)\\\frac{2}{13}\left(-19\right)-\frac{3}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-4,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-7y=-19,2x-9y=-17$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\left(-19\right),3\times 2x+3\left(-9\right)y=3\left(-17\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-14y=-38,6x-27y=-51$$

ลบ 6x-27y=-51 จาก 6x-14y=-38 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-14y+27y=-38+51$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-14y+27y=-38+51$$

เพิ่ม -14y ไปยัง 27y

$$13y=-38+51$$

เพิ่ม -38 ไปยัง 51

$$13y=13$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน 2x-9y=-17 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-9=-17$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=1$$