แก้โจทย์ {l}{3x-4y=12}{y=-3x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 12 } \\ { y = - 3 x - 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3x ไปทั้งสองด้าน

$$y+3x=-3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-4y=12$$

เพิ่ม 4y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=4y+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+12\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 12+4y

$$x=\frac{4}{3}y+4$$

ทดแทน 4+\frac{4y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+y=-3

$$3\left(\frac{4}{3}y+4\right)+y=-3$$

คูณ 3 ด้วย 4+\frac{4y}{3}

$$4y+12+y=-3$$

เพิ่ม 4y ไปยัง y

$$5y+12=-3$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=\frac{4}{3}y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{4}{3}\left(-3\right)+4$$

คูณ \frac{4}{3} ด้วย -3

$$x=-4+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -4

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3x ไปทั้งสองด้าน

$$y+3x=-3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 12+\frac{4}{15}\left(-3\right)\\-\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3x ไปทั้งสองด้าน

$$y+3x=-3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

ลบ 3x+y=-3 จาก 3x-4y=12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x-4y-y=12+3$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y-y=12+3$$

เพิ่ม -4y ไปยัง -y

$$-5y=12+3$$

เพิ่ม 12 ไปยัง 3

$$-5y=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน 3x+y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-3=-3$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-3$$