แก้โจทย์ {l}{3x-2y=2}{5x-5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 2 } \\ { 5 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-2y=2$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=2y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 2+2y

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}$$

ทดแทน \frac{2+2y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-5y=10

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}\right)-5y=10$$

คูณ 5 ด้วย \frac{2+2y}{3}

$$\frac{10}{3}y+\frac{10}{3}-5y=10$$

เพิ่ม \frac{10y}{3} ไปยัง -5y

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

ลบ \frac{10}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย -4

$$x=\frac{-8+2}{3}$$

เพิ่ม \frac{2}{3} ไปยัง -\frac{8}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=-4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\frac{2}{5}\times 10\\2-\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

เพื่อทำให้ 3x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-5\right)y=3\times 10$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x-10y=10,15x-15y=30$$

ลบ 15x-15y=30 จาก 15x-10y=10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x-10y+15y=10-30$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-10y+15y=10-30$$

เพิ่ม -10y ไปยัง 15y

$$5y=10-30$$

เพิ่ม 10 ไปยัง -30

$$5y=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน 5x-5y=10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-5\left(-4\right)=10$$

คูณ -5 ด้วย -4

$$5x+20=10$$

ลบ 20 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=-4$$