แก้โจทย์ {l}{3x+y=1}{4x+4y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 4 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y=\frac{5}{8}=0.625$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=1$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+1

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{-y+1}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+4y=3

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=3$$

คูณ 4 ด้วย \frac{-y+1}{3}

$$-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}+4y=3$$

เพิ่ม -\frac{4y}{3} ไปยัง 4y

$$\frac{8}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

ลบ \frac{4}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{8}{3}y=\frac{5}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{8}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{5}{8}$$

ทดแทน \frac{5}{8} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ครั้ง \frac{5}{8} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{5}{24}+\frac{1}{3}$$

เพิ่ม \frac{1}{3} ไปยัง -\frac{5}{24} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-4}&-\frac{1}{3\times 4-4}\\-\frac{4}{3\times 4-4}&\frac{3}{3\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

เพื่อทำให้ 3x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$4\times 3x+4y=4,3\times 4x+3\times 4y=3\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12x+4y=4,12x+12y=9$$

ลบ 12x+12y=9 จาก 12x+4y=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-12x+4y-12y=4-9$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -12x ตัดพจน์ 12x และ -12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-12y=4-9$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -12y

$$-8y=4-9$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -9

$$-8y=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$y=\frac{5}{8}$$

ทดแทน \frac{5}{8} สำหรับ y ใน 4x+4y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+4\times \frac{5}{8}=3$$

คูณ 4 ด้วย \frac{5}{8}

$$4x+\frac{5}{2}=3$$

ลบ \frac{5}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=\frac{1}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$