แก้โจทย์ {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 22x ไปทั้งสองด้าน

$$-5x+2y+22x=0$$

รวม -5x และ 22x เพื่อให้ได้รับ 17x

$$17x+2y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+5y=-24$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-5y-24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -5y-24

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

ทดแทน -\frac{5y}{3}-8 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 17x+2y=0

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

คูณ 17 ด้วย -\frac{5y}{3}-8

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

เพิ่ม -\frac{85y}{3} ไปยัง 2y

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

เพิ่ม 136 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{79}{3}y=136$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{79}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{408}{79}$$

ทดแทน -\frac{408}{79} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{3}y-8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

คูณ -\frac{5}{3} ครั้ง -\frac{408}{79} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{680}{79}-8$$

เพิ่ม -8 ไปยัง \frac{680}{79}

$$x=\frac{48}{79}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 22x ไปทั้งสองด้าน

$$-5x+2y+22x=0$$

รวม -5x และ 22x เพื่อให้ได้รับ 17x

$$17x+2y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 22x ไปทั้งสองด้าน

$$-5x+2y+22x=0$$

รวม -5x และ 22x เพื่อให้ได้รับ 17x

$$17x+2y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

เพื่อทำให้ 3x และ 17x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 17 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

ลบ 51x+6y=0 จาก 51x+85y=-408 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

เพิ่ม 51x ไปยัง -51x ตัดพจน์ 51x และ -51x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$85y-6y=-408$$

เพิ่ม 85y ไปยัง -6y

$$79y=-408$$

หารทั้งสองข้างด้วย 79

$$y=-\frac{408}{79}$$

ทดแทน -\frac{408}{79} สำหรับ y ใน 17x+2y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{408}{79}

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

เพิ่ม \frac{816}{79} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$17x=\frac{816}{79}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 17

$$x=\frac{48}{79}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$