แก้โจทย์ {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า c, z

$$z=-3$$

$$c=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ c โดยแยก c ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3c+5z=-15$$

ลบ 5z จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3c=-5z-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -5z-15

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

ทดแทน -\frac{5z}{3}-5 สำหรับ c ในอีกสมการหนึ่ง 5c+3z=-9

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{5z}{3}-5

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

เพิ่ม -\frac{25z}{3} ไปยัง 3z

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

เพิ่ม 25 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{16}{3}z=16$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{16}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$z=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ z ใน c=-\frac{5}{3}z-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า c โดยตรงได้

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

คูณ -\frac{5}{3} ด้วย -3

$$c=5-5$$

เพิ่ม -5 ไปยัง 5

$$c=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$c=0,z=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ c และ z

$$c=0,z=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

เพื่อทำให้ 3c และ 5c เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

ลบ 15c+9z=-27 จาก 15c+25z=-75 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

เพิ่ม 15c ไปยัง -15c ตัดพจน์ 15c และ -15c ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$25z-9z=-75+27$$

เพิ่ม 25z ไปยัง -9z

$$16z=-75+27$$

เพิ่ม -75 ไปยัง 27

$$16z=-48$$

หารทั้งสองข้างด้วย 16

$$z=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ z ใน 5c+3z=-9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า c โดยตรงได้

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

คูณ 3 ด้วย -3

$$5c-9=-9$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5c=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$c=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$c=0,z=-3$$