แก้โจทย์ {l}{25x+16y=72}{-5x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + 16 y = 72 } \\ { - 5 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$25x+16y=72$$

ลบ 16y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$25x=-16y+72$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$x=\frac{1}{25}\left(-16y+72\right)$$

คูณ \frac{1}{25} ด้วย -16y+72

$$x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}$$

ทดแทน \frac{-16y+72}{25} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -5x+4y=0

$$-5\left(-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}\right)+4y=0$$

คูณ -5 ด้วย \frac{-16y+72}{25}

$$\frac{16}{5}y-\frac{72}{5}+4y=0$$

เพิ่ม \frac{16y}{5} ไปยัง 4y

$$\frac{36}{5}y-\frac{72}{5}=0$$

เพิ่ม \frac{72}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{36}{5}y=\frac{72}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{36}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{16}{25}\times 2+\frac{72}{25}$$

คูณ -\frac{16}{25} ด้วย 2

$$x=\frac{-32+72}{25}$$

เพิ่ม \frac{72}{25} ไปยัง -\frac{32}{25} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{8}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25\times 4-16\left(-5\right)}&-\frac{16}{25\times 4-16\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{25\times 4-16\left(-5\right)}&\frac{25}{25\times 4-16\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}&-\frac{4}{45}\\\frac{1}{36}&\frac{5}{36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}\times 72\\\frac{1}{36}\times 72\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

เพื่อทำให้ 25x และ -5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 25

$$-5\times 25x-5\times 16y=-5\times 72,25\left(-5\right)x+25\times 4y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-125x-80y=-360,-125x+100y=0$$

ลบ -125x+100y=0 จาก -125x-80y=-360 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-125x+125x-80y-100y=-360$$

เพิ่ม -125x ไปยัง 125x ตัดพจน์ -125x และ 125x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-80y-100y=-360$$

เพิ่ม -80y ไปยัง -100y

$$-180y=-360$$

หารทั้งสองข้างด้วย -180

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน -5x+4y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-5x+4\times 2=0$$

คูณ 4 ด้วย 2

$$-5x+8=0$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=\frac{8}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{8}{5},y=2$$