แก้โจทย์ {l}{2x-5y=-21}{3x+2y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = - 21 } \\ { 3 x + 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{62}{19} = -3\frac{5}{19} \approx -3.263157895$$

$$y = \frac{55}{19} = 2\frac{17}{19} \approx 2.894736842$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-5y=-21,3x+2y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-5y=-21$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=5y-21$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-21\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 5y-21

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}$$

ทดแทน \frac{5y-21}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+2y=-4

$$3\left(\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}\right)+2y=-4$$

คูณ 3 ด้วย \frac{5y-21}{2}

$$\frac{15}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-4$$

เพิ่ม \frac{15y}{2} ไปยัง 2y

$$\frac{19}{2}y-\frac{63}{2}=-4$$

เพิ่ม \frac{63}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{19}{2}y=\frac{55}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{19}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{55}{19}$$

ทดแทน \frac{55}{19} สำหรับ y ใน x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{55}{19}-\frac{21}{2}$$

คูณ \frac{5}{2} ครั้ง \frac{55}{19} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{275}{38}-\frac{21}{2}$$

เพิ่ม -\frac{21}{2} ไปยัง \frac{275}{38} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{62}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{62}{19},y=\frac{55}{19}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-5y=-21,3x+2y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-21\right)+\frac{5}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{19}\left(-21\right)+\frac{2}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{62}{19}\\\frac{55}{19}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{62}{19},y=\frac{55}{19}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-5y=-21,3x+2y=-4$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\left(-21\right),2\times 3x+2\times 2y=2\left(-4\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-15y=-63,6x+4y=-8$$

ลบ 6x+4y=-8 จาก 6x-15y=-63 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-15y-4y=-63+8$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-15y-4y=-63+8$$

เพิ่ม -15y ไปยัง -4y

$$-19y=-63+8$$

เพิ่ม -63 ไปยัง 8

$$-19y=-55$$

หารทั้งสองข้างด้วย -19

$$y=\frac{55}{19}$$

ทดแทน \frac{55}{19} สำหรับ y ใน 3x+2y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+2\times \frac{55}{19}=-4$$

คูณ 2 ด้วย \frac{55}{19}

$$3x+\frac{110}{19}=-4$$

ลบ \frac{110}{19} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-\frac{186}{19}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=-\frac{62}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{62}{19},y=\frac{55}{19}$$