แก้โจทย์ {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+y-7=0$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x+y=7$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y+7

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

ทดแทน \frac{-y+7}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 17x-11y-8=0

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

คูณ 17 ด้วย \frac{-y+7}{2}

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

เพิ่ม -\frac{17y}{2} ไปยัง -11y

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

เพิ่ม \frac{119}{2} ไปยัง -8

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

ลบ \frac{103}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{39}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{103}{39}$$

ทดแทน \frac{103}{39} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

คูณ -\frac{1}{2} ครั้ง \frac{103}{39} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

เพิ่ม \frac{7}{2} ไปยัง -\frac{103}{78} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{85}{39}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

เพื่อทำให้ 2x และ 17x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 17 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

ลบ 34x-22y-16=0 จาก 34x+17y-119=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

เพิ่ม 34x ไปยัง -34x ตัดพจน์ 34x และ -34x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$17y+22y-119+16=0$$

เพิ่ม 17y ไปยัง 22y

$$39y-119+16=0$$

เพิ่ม -119 ไปยัง 16

$$39y-103=0$$

เพิ่ม 103 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$39y=103$$

หารทั้งสองข้างด้วย 39

$$y=\frac{103}{39}$$

ทดแทน \frac{103}{39} สำหรับ y ใน 17x-11y-8=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

คูณ -11 ด้วย \frac{103}{39}

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

เพิ่ม -\frac{1133}{39} ไปยัง -8

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

เพิ่ม \frac{1445}{39} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$17x=\frac{1445}{39}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 17

$$x=\frac{85}{39}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$