แก้โจทย์ {l}{2x+y=8}{x-2y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 8 } \\ { x - 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+y=8,x-2y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+y=8$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-y+8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+8\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y+8

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

ทดแทน -\frac{y}{2}+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-2y=-1

$$-\frac{1}{2}y+4-2y=-1$$

เพิ่ม -\frac{y}{2} ไปยัง -2y

$$-\frac{5}{2}y+4=-1$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{2}y=-5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 2

$$x=-1+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -1

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+y=8,x-2y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-1}&\frac{2}{2\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+y=8,x-2y=-1$$

เพื่อทำให้ 2x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$2x+y=8,2x+2\left(-2\right)y=2\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+y=8,2x-4y=-2$$

ลบ 2x-4y=-2 จาก 2x+y=8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+y+4y=8+2$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y+4y=8+2$$

เพิ่ม y ไปยัง 4y

$$5y=8+2$$

เพิ่ม 8 ไปยัง 2

$$5y=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x-2y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-2\times 2=-1$$

คูณ -2 ด้วย 2

$$x-4=-1$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=2$$