แก้โจทย์ {l}{2x+y=4}{3x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 3 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+y=4,3x+y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+y=4$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y+4

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

ทดแทน -\frac{y}{2}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+y=2

$$3\left(-\frac{1}{2}y+2\right)+y=2$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{y}{2}+2

$$-\frac{3}{2}y+6+y=2$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง y

$$-\frac{1}{2}y+6=2$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{2}y=-4$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times 8+2$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 8

$$x=-4+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -4

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+y=4,3x+y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+2\\3\times 4-2\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+y=4,3x+y=2$$

ลบ 3x+y=2 จาก 2x+y=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3x+y-y=4-2$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-3x=4-2$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -3x

$$-x=4-2$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -2

$$-x=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ x ใน 3x+y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$3\left(-2\right)+y=2$$

คูณ 3 ด้วย -2

$$-6+y=2$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=8$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=8$$