แก้โจทย์ {l}{2x+3y=9}{4x+9y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 9 } \\ { 4 x + 9 y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=13$$

$$y = -\frac{17}{3} = -5\frac{2}{3} \approx -5.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+3y=9,4x+9y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+3y=9$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-3y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3y+9

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}$$

ทดแทน \frac{-3y+9}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+9y=1

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}\right)+9y=1$$

คูณ 4 ด้วย \frac{-3y+9}{2}

$$-6y+18+9y=1$$

เพิ่ม -6y ไปยัง 9y

$$3y+18=1$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=-17$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=-\frac{17}{3}$$

ทดแทน -\frac{17}{3} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{17}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

คูณ -\frac{3}{2} ครั้ง -\frac{17}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{17+9}{2}$$

เพิ่ม \frac{9}{2} ไปยัง \frac{17}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=13$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=13,y=-\frac{17}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+3y=9,4x+9y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 9-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 9-3\times 4}&\frac{2}{2\times 9-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 9-\frac{1}{2}\\-\frac{2}{3}\times 9+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-\frac{17}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=13,y=-\frac{17}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+3y=9,4x+9y=1$$

เพื่อทำให้ 2x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 9,2\times 4x+2\times 9y=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x+12y=36,8x+18y=2$$

ลบ 8x+18y=2 จาก 8x+12y=36 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x+12y-18y=36-2$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$12y-18y=36-2$$

เพิ่ม 12y ไปยัง -18y

$$-6y=36-2$$

เพิ่ม 36 ไปยัง -2

$$-6y=34$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$y=-\frac{17}{3}$$

ทดแทน -\frac{17}{3} สำหรับ y ใน 4x+9y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+9\left(-\frac{17}{3}\right)=1$$

คูณ 9 ด้วย -\frac{17}{3}

$$4x-51=1$$

เพิ่ม 51 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=52$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=13$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=13,y=-\frac{17}{3}$$