แก้โจทย์ {l}{2x+3y=7}{3x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 3 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+3y=7,3x-y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+3y=7$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-3y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3y+7

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

ทดแทน \frac{-3y+7}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-y=5

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)-y=5$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-3y+7}{2}

$$-\frac{9}{2}y+\frac{21}{2}-y=5$$

เพิ่ม -\frac{9y}{2} ไปยัง -y

$$-\frac{11}{2}y+\frac{21}{2}=5$$

ลบ \frac{21}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{11}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{-3+7}{2}$$

เพิ่ม \frac{7}{2} ไปยัง -\frac{3}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+3y=7,3x-y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7+\frac{3}{11}\times 5\\\frac{3}{11}\times 7-\frac{2}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+3y=7,3x-y=5$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 7,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+9y=21,6x-2y=10$$

ลบ 6x-2y=10 จาก 6x+9y=21 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+9y+2y=21-10$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y+2y=21-10$$

เพิ่ม 9y ไปยัง 2y

$$11y=21-10$$

เพิ่ม 21 ไปยัง -10

$$11y=11$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน 3x-y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-1=5$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=1$$