แก้โจทย์ {l}{2+3x-y=20}{x-2=y+2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 + 3 x - y = 20 } \\ { x - 2 = y + 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=7$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$3x-y=20-2$$

ลบ 2 จาก 20 เพื่อรับ 18

$$3x-y=18$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x-2-y=2$$

เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน

$$x-y=2+2$$

เพิ่ม 2 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 4

$$x-y=4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-y=18,x-y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-y=18$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=y+18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(y+18\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย y+18

$$x=\frac{1}{3}y+6$$

ทดแทน \frac{y}{3}+6 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-y=4

$$\frac{1}{3}y+6-y=4$$

เพิ่ม \frac{y}{3} ไปยัง -y

$$-\frac{2}{3}y+6=4$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{2}{3}y=-2$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{2}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{3}y+6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{3}\times 3+6$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 3

$$x=1+6$$

เพิ่ม 6 ไปยัง 1

$$x=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=7,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$3x-y=20-2$$

ลบ 2 จาก 20 เพื่อรับ 18

$$3x-y=18$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x-2-y=2$$

เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน

$$x-y=2+2$$

เพิ่ม 2 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 4

$$x-y=4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-y=18,x-y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 18-\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 18-\frac{3}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=7,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$3x-y=20-2$$

ลบ 2 จาก 20 เพื่อรับ 18

$$3x-y=18$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x-2-y=2$$

เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน

$$x-y=2+2$$

เพิ่ม 2 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 4

$$x-y=4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-y=18,x-y=4$$

ลบ x-y=4 จาก 3x-y=18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-x-y+y=18-4$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3x-x=18-4$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -x

$$2x=18-4$$

เพิ่ม 18 ไปยัง -4

$$2x=14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ x ใน x-y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$7-y=4$$

ลบ 7 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=7,y=3$$