แก้โจทย์ {l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$18x-14y=-5$$

เพิ่ม 14y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$18x=14y-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 18

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

คูณ \frac{1}{18} ด้วย 14y-5

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

ทดแทน \frac{7y}{9}-\frac{5}{18} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 18x+2y=-20

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

คูณ 18 ด้วย \frac{7y}{9}-\frac{5}{18}

$$14y-5+2y=-20$$

เพิ่ม 14y ไปยัง 2y

$$16y-5=-20$$

เพิ่ม 5 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$16y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 16

$$y=-\frac{15}{16}$$

ทดแทน -\frac{15}{16} สำหรับ y ใน x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

คูณ \frac{7}{9} ครั้ง -\frac{15}{16} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

เพิ่ม -\frac{5}{18} ไปยัง -\frac{35}{48} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{145}{144}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

ลบ 18x+2y=-20 จาก 18x-14y=-5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

เพิ่ม 18x ไปยัง -18x ตัดพจน์ 18x และ -18x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-14y-2y=-5+20$$

เพิ่ม -14y ไปยัง -2y

$$-16y=-5+20$$

เพิ่ม -5 ไปยัง 20

$$-16y=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -16

$$y=-\frac{15}{16}$$

ทดแทน -\frac{15}{16} สำหรับ y ใน 18x+2y=-20 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{15}{16}

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

เพิ่ม \frac{15}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$18x=-\frac{145}{8}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 18

$$x=-\frac{145}{144}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$