แก้โจทย์ {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-28$$

$$y=63$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$11x+5y=7$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$11x=-5y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{11} ด้วย -5y+7

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

ทดแทน \frac{-5y+7}{11} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+3y=21

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

คูณ 6 ด้วย \frac{-5y+7}{11}

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

เพิ่ม -\frac{30y}{11} ไปยัง 3y

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

ลบ \frac{42}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{3}{11} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=63$$

ทดแทน 63 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

คูณ -\frac{5}{11} ด้วย 63

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

เพิ่ม \frac{7}{11} ไปยัง -\frac{315}{11} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-28$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-28,y=63$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-28,y=63$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

เพื่อทำให้ 11x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 11

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

ลบ 66x+33y=231 จาก 66x+30y=42 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

เพิ่ม 66x ไปยัง -66x ตัดพจน์ 66x และ -66x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$30y-33y=42-231$$

เพิ่ม 30y ไปยัง -33y

$$-3y=42-231$$

เพิ่ม 42 ไปยัง -231

$$-3y=-189$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=63$$

ทดแทน 63 สำหรับ y ใน 6x+3y=21 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x+3\times 63=21$$

คูณ 3 ด้วย 63

$$6x+189=21$$

ลบ 189 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-168$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=-28$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-28,y=63$$