แก้โจทย์ {l}{1=2r-3s}{4=3r+2s}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

หาค่า r, s

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$2r-3s=1$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$3r+2s=4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ r โดยแยก r ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2r-3s=1$$

เพิ่ม 3s ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2r=3s+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3s+1

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{3s+1}{2} สำหรับ r ในอีกสมการหนึ่ง 3r+2s=4

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

คูณ 3 ด้วย \frac{3s+1}{2}

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

เพิ่ม \frac{9s}{2} ไปยัง 2s

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

ลบ \frac{3}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$s=\frac{5}{13}$$

ทดแทน \frac{5}{13} สำหรับ s ใน r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า r โดยตรงได้

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

คูณ \frac{3}{2} ครั้ง \frac{5}{13} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง \frac{15}{26} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$r=\frac{14}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$2r-3s=1$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$3r+2s=4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ r และ s

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$2r-3s=1$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$3r+2s=4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

เพื่อทำให้ 2r และ 3r เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

ลบ 6r+4s=8 จาก 6r-9s=3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

เพิ่ม 6r ไปยัง -6r ตัดพจน์ 6r และ -6r ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-9s-4s=3-8$$

เพิ่ม -9s ไปยัง -4s

$$-13s=3-8$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -8

$$-13s=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$s=\frac{5}{13}$$

ทดแทน \frac{5}{13} สำหรับ s ใน 3r+2s=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า r โดยตรงได้

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

คูณ 2 ด้วย \frac{5}{13}

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

ลบ \frac{10}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3r=\frac{42}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$r=\frac{14}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$