แก้โจทย์ {l}{0.4x+0.3y=1.7}{0.7x-0.2y=0.8}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.3 y = 1.7 } \\ { 0.7 x - 0.2 y = 0.8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.4x+0.3y=1.7$$

ลบ \frac{3y}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.4x=-0.3y+1.7$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.4 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=2.5\left(-0.3y+1.7\right)$$

คูณ 2.5 ด้วย \frac{-3y+17}{10}

$$x=-0.75y+4.25$$

ทดแทน \frac{-3y+17}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 0.7x-0.2y=0.8

$$0.7\left(-0.75y+4.25\right)-0.2y=0.8$$

คูณ 0.7 ด้วย \frac{-3y+17}{4}

$$-0.525y+2.975-0.2y=0.8$$

เพิ่ม -\frac{21y}{40} ไปยัง -\frac{y}{5}

$$-0.725y+2.975=0.8$$

ลบ 2.975 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.725y=-2.175$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.725 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=-0.75y+4.25 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-0.75\times 3+4.25$$

คูณ -0.75 ด้วย 3

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

เพิ่ม 4.25 ไปยัง -2.25 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&-\frac{0.3}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\\-\frac{0.7}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}&\frac{30}{29}\\\frac{70}{29}&-\frac{40}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}\times 1.7+\frac{30}{29}\times 0.8\\\frac{70}{29}\times 1.7-\frac{40}{29}\times 0.8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

เพื่อทำให้ \frac{2x}{5} และ \frac{7x}{10} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 0.7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 0.4

$$0.7\times 0.4x+0.7\times 0.3y=0.7\times 1.7,0.4\times 0.7x+0.4\left(-0.2\right)y=0.4\times 0.8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.28x+0.21y=1.19,0.28x-0.08y=0.32$$

ลบ 0.28x-0.08y=0.32 จาก 0.28x+0.21y=1.19 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.28x-0.28x+0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

เพิ่ม \frac{7x}{25} ไปยัง -\frac{7x}{25} ตัดพจน์ \frac{7x}{25} และ -\frac{7x}{25} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

เพิ่ม \frac{21y}{100} ไปยัง \frac{2y}{25}

$$0.29y=1.19-0.32$$

เพิ่ม 1.19 ไปยัง -0.32 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$0.29y=0.87$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.29 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน 0.7x-0.2y=0.8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$0.7x-0.2\times 3=0.8$$

คูณ -0.2 ด้วย 3

$$0.7x-0.6=0.8$$

เพิ่ม 0.6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$0.7x=1.4$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.7 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=3$$