แก้โจทย์ {l}{0.2x+0.1y=-180}{-0.7x-0.2y=480}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.1 y = - 180 } \\ { - 0.7 x - 0.2 y = 480 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-400$$

$$y=-1000$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.2x+0.1y=-180$$

ลบ \frac{y}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.2x=-0.1y-180$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=5\left(-0.1y-180\right)$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{y}{10}-180

$$x=-0.5y-900$$

ทดแทน -\frac{y}{2}-900 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -0.7x-0.2y=480

$$-0.7\left(-0.5y-900\right)-0.2y=480$$

คูณ -0.7 ด้วย -\frac{y}{2}-900

$$0.35y+630-0.2y=480$$

เพิ่ม \frac{7y}{20} ไปยัง -\frac{y}{5}

$$0.15y+630=480$$

ลบ 630 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.15y=-150$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.15 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-1000$$

ทดแทน -1000 สำหรับ y ใน x=-0.5y-900 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-0.5\left(-1000\right)-900$$

คูณ -0.5 ด้วย -1000

$$x=500-900$$

เพิ่ม -900 ไปยัง 500

$$x=-400$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-400,y=-1000$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&-\frac{0.1}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\\-\frac{-0.7}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}&-\frac{10}{3}\\\frac{70}{3}&\frac{20}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\left(-180\right)-\frac{10}{3}\times 480\\\frac{70}{3}\left(-180\right)+\frac{20}{3}\times 480\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-400\\-1000\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-400,y=-1000$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

เพื่อทำให้ \frac{x}{5} และ -\frac{7x}{10} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -0.7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 0.2

$$-0.7\times 0.2x-0.7\times 0.1y=-0.7\left(-180\right),0.2\left(-0.7\right)x+0.2\left(-0.2\right)y=0.2\times 480$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-0.14x-0.07y=126,-0.14x-0.04y=96$$

ลบ -0.14x-0.04y=96 จาก -0.14x-0.07y=126 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-0.14x+0.14x-0.07y+0.04y=126-96$$

เพิ่ม -\frac{7x}{50} ไปยัง \frac{7x}{50} ตัดพจน์ -\frac{7x}{50} และ \frac{7x}{50} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-0.07y+0.04y=126-96$$

เพิ่ม -\frac{7y}{100} ไปยัง \frac{y}{25}

$$-0.03y=126-96$$

เพิ่ม 126 ไปยัง -96

$$-0.03y=30$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.03 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-1000$$

ทดแทน -1000 สำหรับ y ใน -0.7x-0.2y=480 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-0.7x-0.2\left(-1000\right)=480$$

คูณ -0.2 ด้วย -1000

$$-0.7x+200=480$$

ลบ 200 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.7x=280$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.7 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-400$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-400,y=-1000$$