แก้โจทย์ {l}{0.04x+0.02y=5}{0.5(x-2)-0.4y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.04 x + 0.02 y = 5 } \\ { 0.5 ( x - 2 ) - 0.4 y = 29 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=100$$

$$y=50$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.04x+0.02y=5$$

ลบ \frac{y}{50} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.04x=-0.02y+5$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 25

$$x=25\left(-0.02y+5\right)$$

คูณ 25 ด้วย -\frac{y}{50}+5

$$x=-0.5y+125$$

ทดแทน -\frac{y}{2}+125 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 0.5\left(x-2\right)-0.4y=29

$$0.5\left(-0.5y+125-2\right)-0.4y=29$$

เพิ่ม 125 ไปยัง -2

$$0.5\left(-0.5y+123\right)-0.4y=29$$

คูณ 0.5 ด้วย -\frac{y}{2}+123

$$-0.25y+61.5-0.4y=29$$

เพิ่ม -\frac{y}{4} ไปยัง -\frac{2y}{5}

$$-0.65y+61.5=29$$

ลบ 61.5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.65y=-32.5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.65 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=50$$

ทดแทน 50 สำหรับ y ใน x=-0.5y+125 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-0.5\times 50+125$$

คูณ -0.5 ด้วย 50

$$x=-25+125$$

เพิ่ม 125 ไปยัง -25

$$x=100$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=100,y=50$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

ทำสมการที่สองให้เป็นรูปมาตรฐาน

$$0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

คูณ 0.5 ด้วย x-2

$$0.5x-1-0.4y=29$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$0.5x-0.4y=30$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&-\frac{0.02}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\\-\frac{0.5}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&\frac{0.04}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{250}{13}&-\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}\times 5+\frac{10}{13}\times 30\\\frac{250}{13}\times 5-\frac{20}{13}\times 30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\50\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=100,y=50$$