แก้โจทย์ {l}{-x+y=2}{2y=9x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 9x จากทั้งสองด้าน

$$2y-9x=9$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x+y=2$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-\left(-y+2\right)$$

คูณ -1 ด้วย -y+2

$$x=y-2$$

ทดแทน y-2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -9x+2y=9

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

คูณ -9 ด้วย y-2

$$-9y+18+2y=9$$

เพิ่ม -9y ไปยัง 2y

$$-7y+18=9$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7y=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=\frac{9}{7}$$

ทดแทน \frac{9}{7} สำหรับ y ใน x=y-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{9}{7}-2$$

เพิ่ม -2 ไปยัง \frac{9}{7}

$$x=-\frac{5}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 9x จากทั้งสองด้าน

$$2y-9x=9$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 9x จากทั้งสองด้าน

$$2y-9x=9$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

เพื่อทำให้ -x และ -9x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -1

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

ลบ 9x-2y=-9 จาก 9x-9y=-18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

เพิ่ม 9x ไปยัง -9x ตัดพจน์ 9x และ -9x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-9y+2y=-18+9$$

เพิ่ม -9y ไปยัง 2y

$$-7y=-18+9$$

เพิ่ม -18 ไปยัง 9

$$-7y=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=\frac{9}{7}$$

ทดแทน \frac{9}{7} สำหรับ y ใน -9x+2y=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

คูณ 2 ด้วย \frac{9}{7}

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

ลบ \frac{18}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-9x=\frac{45}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$x=-\frac{5}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$