แก้โจทย์ {l}{-6x+2y=6}{4x-4y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 2 y = 6 } \\ { 4 x - 4 y = - 20 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-6x+2y=6$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-6x=-2y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$x=-\frac{1}{6}\left(-2y+6\right)$$

คูณ -\frac{1}{6} ด้วย -2y+6

$$x=\frac{1}{3}y-1$$

ทดแทน \frac{y}{3}-1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-4y=-20

$$4\left(\frac{1}{3}y-1\right)-4y=-20$$

คูณ 4 ด้วย \frac{y}{3}-1

$$\frac{4}{3}y-4-4y=-20$$

เพิ่ม \frac{4y}{3} ไปยัง -4y

$$-\frac{8}{3}y-4=-20$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{8}{3}y=-16$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{8}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{3}y-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{3}\times 6-1$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 6

$$x=2-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง 2

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=6$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-6\left(-4\right)-2\times 4}&-\frac{2}{-6\left(-4\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{-6\left(-4\right)-2\times 4}&-\frac{6}{-6\left(-4\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{8}\left(-20\right)\\-\frac{1}{4}\times 6-\frac{3}{8}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

เพื่อทำให้ -6x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -6

$$4\left(-6\right)x+4\times 2y=4\times 6,-6\times 4x-6\left(-4\right)y=-6\left(-20\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-24x+8y=24,-24x+24y=120$$

ลบ -24x+24y=120 จาก -24x+8y=24 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-24x+24x+8y-24y=24-120$$

เพิ่ม -24x ไปยัง 24x ตัดพจน์ -24x และ 24x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8y-24y=24-120$$

เพิ่ม 8y ไปยัง -24y

$$-16y=24-120$$

เพิ่ม 24 ไปยัง -120

$$-16y=-96$$

หารทั้งสองข้างด้วย -16

$$y=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ y ใน 4x-4y=-20 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x-4\times 6=-20$$

คูณ -4 ด้วย 6

$$4x-24=-20$$

เพิ่ม 24 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=6$$