แก้โจทย์ {l}{-5x-3y-9=0}{4x-18y-54=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 3 y - 9 = 0 } \\ { 4 x - 18 y - 54 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-5x-3y-9=0$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x-3y=9$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=3y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=-\frac{1}{5}\left(3y+9\right)$$

คูณ -\frac{1}{5} ด้วย 9+3y

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}$$

ทดแทน \frac{-3y-9}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-18y-54=0

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}\right)-18y-54=0$$

คูณ 4 ด้วย \frac{-3y-9}{5}

$$-\frac{12}{5}y-\frac{36}{5}-18y-54=0$$

เพิ่ม -\frac{12y}{5} ไปยัง -18y

$$-\frac{102}{5}y-\frac{36}{5}-54=0$$

เพิ่ม -\frac{36}{5} ไปยัง -54

$$-\frac{102}{5}y-\frac{306}{5}=0$$

เพิ่ม \frac{306}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{102}{5}y=\frac{306}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{102}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{5}\left(-3\right)-\frac{9}{5}$$

คูณ -\frac{3}{5} ด้วย -3

$$x=\frac{9-9}{5}$$

เพิ่ม -\frac{9}{5} ไปยัง \frac{9}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{5}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{1}{34}\\-\frac{2}{51}&-\frac{5}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 9+\frac{1}{34}\times 54\\-\frac{2}{51}\times 9-\frac{5}{102}\times 54\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

เพื่อทำให้ -5x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -5

$$4\left(-5\right)x+4\left(-3\right)y+4\left(-9\right)=0,-5\times 4x-5\left(-18\right)y-5\left(-54\right)=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-20x-12y-36=0,-20x+90y+270=0$$

ลบ -20x+90y+270=0 จาก -20x-12y-36=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-20x+20x-12y-90y-36-270=0$$

เพิ่ม -20x ไปยัง 20x ตัดพจน์ -20x และ 20x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-12y-90y-36-270=0$$

เพิ่ม -12y ไปยัง -90y

$$-102y-36-270=0$$

เพิ่ม -36 ไปยัง -270

$$-102y-306=0$$

เพิ่ม 306 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-102y=306$$

หารทั้งสองข้างด้วย -102

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน 4x-18y-54=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x-18\left(-3\right)-54=0$$

คูณ -18 ด้วย -3

$$4x+54-54=0$$

เพิ่ม 54 ไปยัง -54

$$4x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-3$$