แก้โจทย์ {l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=7$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3y+4x=13$$

ลบ 4x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3y=-4x+13$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย -4x+13

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

ทดแทน \frac{4x-13}{3} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง -5y-6x=-67

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

คูณ -5 ด้วย \frac{4x-13}{3}

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

เพิ่ม -\frac{20x}{3} ไปยัง -6x

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

ลบ \frac{65}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{38}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ x ใน y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

คูณ \frac{4}{3} ด้วย 7

$$y=\frac{28-13}{3}$$

เพิ่ม -\frac{13}{3} ไปยัง \frac{28}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=5,x=7$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=5,x=7$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

เพื่อทำให้ -3y และ -5y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -3

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

ลบ 15y+18x=201 จาก 15y-20x=-65 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

เพิ่ม 15y ไปยัง -15y ตัดพจน์ 15y และ -15y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-20x-18x=-65-201$$

เพิ่ม -20x ไปยัง -18x

$$-38x=-65-201$$

เพิ่ม -65 ไปยัง -201

$$-38x=-266$$

หารทั้งสองข้างด้วย -38

$$x=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ x ใน -5y-6x=-67 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-5y-6\times 7=-67$$

คูณ -6 ด้วย 7

$$-5y-42=-67$$

เพิ่ม 42 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-5y=-25$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=5,x=7$$