แก้โจทย์ {l}{-2x+3y=-10}{-3x+3y=-3}hline

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = - 10 } \\ { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ \hline \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-7$$

$$y=-8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+3y=-10$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-3y-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y-10\right)$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย -3y-10

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

ทดแทน \frac{3y}{2}+5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x+3y=-3

$$-3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+3y=-3$$

คูณ -3 ด้วย \frac{3y}{2}+5

$$-\frac{9}{2}y-15+3y=-3$$

เพิ่ม -\frac{9y}{2} ไปยัง 3y

$$-\frac{3}{2}y-15=-3$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{3}{2}y=12$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-8$$

ทดแทน -8 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\left(-8\right)+5$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย -8

$$x=-12+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -12

$$x=-7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-7,y=-8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10-\left(-3\right)\\-10-\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-8\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-7,y=-8$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

ลบ -3x+3y=-3 จาก -2x+3y=-10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+3x+3y-3y=-10+3$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -3y ตัดพจน์ 3y และ -3y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2x+3x=-10+3$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 3x

$$x=-10+3$$

เพิ่ม -10 ไปยัง 3

$$x=-7$$

ทดแทน -7 สำหรับ x ใน -3x+3y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-3\left(-7\right)+3y=-3$$

คูณ -3 ด้วย -7

$$21+3y=-3$$

ลบ 21 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=-24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=-8$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-7,y=-8$$