แก้โจทย์ {l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=13$$

$$y=11$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 10 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,2

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-3

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย y-7

$$2x-6=5y-35$$

ลบ 5y จากทั้งสองด้าน

$$2x-6-5y=-35$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-5y=-35+6$$

เพิ่ม -35 และ 6 เพื่อให้ได้รับ -29

$$2x-5y=-29$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 13y จากทั้งสองด้าน

$$11x-13y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-5y=-29$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=5y-29$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 5y-29

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

ทดแทน \frac{5y-29}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 11x-13y=0

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

คูณ 11 ด้วย \frac{5y-29}{2}

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

เพิ่ม \frac{55y}{2} ไปยัง -13y

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

เพิ่ม \frac{319}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{29}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=11$$

ทดแทน 11 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

คูณ \frac{5}{2} ด้วย 11

$$x=\frac{55-29}{2}$$

เพิ่ม -\frac{29}{2} ไปยัง \frac{55}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=13$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=13,y=11$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 10 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,2

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-3

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย y-7

$$2x-6=5y-35$$

ลบ 5y จากทั้งสองด้าน

$$2x-6-5y=-35$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-5y=-35+6$$

เพิ่ม -35 และ 6 เพื่อให้ได้รับ -29

$$2x-5y=-29$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 13y จากทั้งสองด้าน

$$11x-13y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=13,y=11$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 10 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,2

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-3

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย y-7

$$2x-6=5y-35$$

ลบ 5y จากทั้งสองด้าน

$$2x-6-5y=-35$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-5y=-35+6$$

เพิ่ม -35 และ 6 เพื่อให้ได้รับ -29

$$2x-5y=-29$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 13y จากทั้งสองด้าน

$$11x-13y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

เพื่อทำให้ 2x และ 11x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 11 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

ลบ 22x-26y=0 จาก 22x-55y=-319 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

เพิ่ม 22x ไปยัง -22x ตัดพจน์ 22x และ -22x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-55y+26y=-319$$

เพิ่ม -55y ไปยัง 26y

$$-29y=-319$$

หารทั้งสองข้างด้วย -29

$$y=11$$

ทดแทน 11 สำหรับ y ใน 11x-13y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$11x-13\times 11=0$$

คูณ -13 ด้วย 11

$$11x-143=0$$

เพิ่ม 143 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$11x=143$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$x=13$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=13,y=11$$