แก้โจทย์ {l}{x/8-y=-5/2}{3x+y/3=13}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 8 } - y = - \frac { 5 } { 2 } } \\ { 3 x + \frac { y } { 3 } = 13 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2}$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{8}x=y-\frac{5}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=8\left(y-\frac{5}{2}\right)$$

คูณ 8 ด้วย y-\frac{5}{2}

$$x=8y-20$$

ทดแทน 8y-20 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+\frac{1}{3}y=13

$$3\left(8y-20\right)+\frac{1}{3}y=13$$

คูณ 3 ด้วย 8y-20

$$24y-60+\frac{1}{3}y=13$$

เพิ่ม 24y ไปยัง \frac{y}{3}

$$\frac{73}{3}y-60=13$$

เพิ่ม 60 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{73}{3}y=73$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{73}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=8y-20 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=8\times 3-20$$

คูณ 8 ด้วย 3

$$x=24-20$$

เพิ่ม -20 ไปยัง 24

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&\frac{24}{73}\\-\frac{72}{73}&\frac{3}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{24}{73}\times 13\\-\frac{72}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{3}{73}\times 13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

เพื่อทำให้ \frac{x}{8} และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย \frac{1}{8}

$$3\times \frac{1}{8}x+3\left(-1\right)y=3\left(-\frac{5}{2}\right),\frac{1}{8}\times 3x+\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{8}\times 13$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2},\frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8}$$

ลบ \frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8} จาก \frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

เพิ่ม \frac{3x}{8} ไปยัง -\frac{3x}{8} ตัดพจน์ \frac{3x}{8} และ -\frac{3x}{8} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

เพิ่ม -3y ไปยัง -\frac{y}{24}

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

เพิ่ม -\frac{15}{2} ไปยัง -\frac{13}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{73}{8}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{73}{24} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน 3x+\frac{1}{3}y=13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+\frac{1}{3}\times 3=13$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 3

$$3x+1=13$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=3$$