แก้โจทย์ {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=5$$

$$y=-10$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 10 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,10

$$2x-20=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x-20-y=0$$

เพิ่ม 20 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2x-y=20$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 7y ไปทั้งสองด้าน

$$5x+45+7y=0$$

ลบ 45 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$5x+7y=-45$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-y=20$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=y+20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย y+20

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

ทดแทน \frac{y}{2}+10 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+7y=-45

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

คูณ 5 ด้วย \frac{y}{2}+10

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

เพิ่ม \frac{5y}{2} ไปยัง 7y

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

ลบ 50 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{19}{2}y=-95$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{19}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-10$$

ทดแทน -10 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -10

$$x=-5+10$$

เพิ่ม 10 ไปยัง -5

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=-10$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 10 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,10

$$2x-20=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x-20-y=0$$

เพิ่ม 20 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2x-y=20$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 7y ไปทั้งสองด้าน

$$5x+45+7y=0$$

ลบ 45 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$5x+7y=-45$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=5,y=-10$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 10 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,10

$$2x-20=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x-20-y=0$$

เพิ่ม 20 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2x-y=20$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 7y ไปทั้งสองด้าน

$$5x+45+7y=0$$

ลบ 45 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$5x+7y=-45$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

เพื่อทำให้ 2x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

ลบ 10x+14y=-90 จาก 10x-5y=100 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-5y-14y=100+90$$

เพิ่ม -5y ไปยัง -14y

$$-19y=100+90$$

เพิ่ม 100 ไปยัง 90

$$-19y=190$$

หารทั้งสองข้างด้วย -19

$$y=-10$$

ทดแทน -10 สำหรับ y ใน 5x+7y=-45 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

คูณ 7 ด้วย -10

$$5x-70=-45$$

เพิ่ม 70 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=25$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=-10$$