แก้โจทย์ {l}{3x+y/2=2}{y+1/x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 x + y } { 2 } = 2 } \\ { \frac { y + 1 } { x } = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=5$$

$$y=-11$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$3x+y=2\times 2$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$3x+y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย x

$$y+1=-2x$$

เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+1+2x=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$y+2x=-1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=4$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+4

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

ทดแทน \frac{4-y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=-1

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)+y=-1$$

คูณ 2 ด้วย \frac{4-y}{3}

$$-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}+y=-1$$

เพิ่ม -\frac{2y}{3} ไปยัง y

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

ลบ \frac{8}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{3}y=-\frac{11}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=-11$$

ทดแทน -11 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\left(-11\right)+\frac{4}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย -11

$$x=\frac{11+4}{3}$$

เพิ่ม \frac{4}{3} ไปยัง \frac{11}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=-11$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$3x+y=2\times 2$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$3x+y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย x

$$y+1=-2x$$

เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+1+2x=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$y+2x=-1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-\left(-1\right)\\-2\times 4+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-11\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=5,y=-11$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$3x+y=2\times 2$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$3x+y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย x

$$y+1=-2x$$

เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+1+2x=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$y+2x=-1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

ลบ 2x+y=-1 จาก 3x+y=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-2x+y-y=4+1$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3x-2x=4+1$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -2x

$$x=4+1$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 1

$$x=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ x ใน 2x+y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2\times 5+y=-1$$

คูณ 2 ด้วย 5

$$10+y=-1$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-11$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=-11$$