แก้โจทย์ {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x-y+3

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย x-2y+3

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

รวม 8x และ -3x เพื่อให้ได้รับ 5x

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

รวม -4y และ 6y เพื่อให้ได้รับ 2y

$$5x+2y+12-9=48$$

ลบ 9 จาก 12 เพื่อรับ 3

$$5x+2y+3=48$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$5x+2y=48-3$$

ลบ 3 จาก 48 เพื่อรับ 45

$$5x+2y=45$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,3

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 3x-4y+3

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 4x-2y-9

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

รวม 9x และ 16x เพื่อให้ได้รับ 25x

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

รวม -12y และ -8y เพื่อให้ได้รับ -20y

$$25x-20y+9-36=48$$

ลบ 36 จาก 9 เพื่อรับ -27

$$25x-20y-27=48$$

เพิ่ม 27 ไปทั้งสองด้าน

$$25x-20y=48+27$$

เพิ่ม 48 และ 27 เพื่อให้ได้รับ 75

$$25x-20y=75$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+2y=45$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-2y+45$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -2y+45

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

ทดแทน -\frac{2y}{5}+9 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 25x-20y=75

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

คูณ 25 ด้วย -\frac{2y}{5}+9

$$-10y+225-20y=75$$

เพิ่ม -10y ไปยัง -20y

$$-30y+225=75$$

ลบ 225 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-30y=-150$$

หารทั้งสองข้างด้วย -30

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{5}y+9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

คูณ -\frac{2}{5} ด้วย 5

$$x=-2+9$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -2

$$x=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=7,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x-y+3

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย x-2y+3

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

รวม 8x และ -3x เพื่อให้ได้รับ 5x

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

รวม -4y และ 6y เพื่อให้ได้รับ 2y

$$5x+2y+12-9=48$$

ลบ 9 จาก 12 เพื่อรับ 3

$$5x+2y+3=48$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$5x+2y=48-3$$

ลบ 3 จาก 48 เพื่อรับ 45

$$5x+2y=45$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,3

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 3x-4y+3

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 4x-2y-9

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

รวม 9x และ 16x เพื่อให้ได้รับ 25x

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

รวม -12y และ -8y เพื่อให้ได้รับ -20y

$$25x-20y+9-36=48$$

ลบ 36 จาก 9 เพื่อรับ -27

$$25x-20y-27=48$$

เพิ่ม 27 ไปทั้งสองด้าน

$$25x-20y=48+27$$

เพิ่ม 48 และ 27 เพื่อให้ได้รับ 75

$$25x-20y=75$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=7,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x-y+3

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย x-2y+3

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

รวม 8x และ -3x เพื่อให้ได้รับ 5x

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

รวม -4y และ 6y เพื่อให้ได้รับ 2y

$$5x+2y+12-9=48$$

ลบ 9 จาก 12 เพื่อรับ 3

$$5x+2y+3=48$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$5x+2y=48-3$$

ลบ 3 จาก 48 เพื่อรับ 45

$$5x+2y=45$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,3

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 3x-4y+3

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 4x-2y-9

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

รวม 9x และ 16x เพื่อให้ได้รับ 25x

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

รวม -12y และ -8y เพื่อให้ได้รับ -20y

$$25x-20y+9-36=48$$

ลบ 36 จาก 9 เพื่อรับ -27

$$25x-20y-27=48$$

เพิ่ม 27 ไปทั้งสองด้าน

$$25x-20y=48+27$$

เพิ่ม 48 และ 27 เพื่อให้ได้รับ 75

$$25x-20y=75$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

เพื่อทำให้ 5x และ 25x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 25 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

ลบ 125x-100y=375 จาก 125x+50y=1125 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

เพิ่ม 125x ไปยัง -125x ตัดพจน์ 125x และ -125x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$50y+100y=1125-375$$

เพิ่ม 50y ไปยัง 100y

$$150y=1125-375$$

เพิ่ม 1125 ไปยัง -375

$$150y=750$$

หารทั้งสองข้างด้วย 150

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน 25x-20y=75 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$25x-20\times 5=75$$

คูณ -20 ด้วย 5

$$25x-100=75$$

เพิ่ม 100 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$25x=175$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$x=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=7,y=5$$