แก้โจทย์ {l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ \frac{2}{3} เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3y-2

$$2x+3=3y-2$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$2x+3-3y=-2$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$2x-3y=-2-3$$

ลบ 3 จาก -2 เพื่อรับ -5

$$2x-3y=-5$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย 2y-5

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2y ด้วย x+3

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

รวม 2xy และ -2yx เพื่อให้ได้รับ 0

$$-5x-6y-2x=1$$

รวม -5x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -7x

$$-7x-6y=1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=-5$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3y-5

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

ทดแทน \frac{3y-5}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -7x-6y=1

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

คูณ -7 ด้วย \frac{3y-5}{2}

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

เพิ่ม -\frac{21y}{2} ไปยัง -6y

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

ลบ \frac{35}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{33}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3-5}{2}$$

เพิ่ม -\frac{5}{2} ไปยัง \frac{3}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ \frac{2}{3} เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3y-2

$$2x+3=3y-2$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$2x+3-3y=-2$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$2x-3y=-2-3$$

ลบ 3 จาก -2 เพื่อรับ -5

$$2x-3y=-5$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย 2y-5

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2y ด้วย x+3

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

รวม 2xy และ -2yx เพื่อให้ได้รับ 0

$$-5x-6y-2x=1$$

รวม -5x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -7x

$$-7x-6y=1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ \frac{2}{3} เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3y-2

$$2x+3=3y-2$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$2x+3-3y=-2$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$2x-3y=-2-3$$

ลบ 3 จาก -2 เพื่อรับ -5

$$2x-3y=-5$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย 2y-5

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2y ด้วย x+3

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

รวม 2xy และ -2yx เพื่อให้ได้รับ 0

$$-5x-6y-2x=1$$

รวม -5x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -7x

$$-7x-6y=1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

เพื่อทำให้ 2x และ -7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

ลบ -14x-12y=2 จาก -14x+21y=35 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

เพิ่ม -14x ไปยัง 14x ตัดพจน์ -14x และ 14x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$21y+12y=35-2$$

เพิ่ม 21y ไปยัง 12y

$$33y=35-2$$

เพิ่ม 35 ไปยัง -2

$$33y=33$$

หารทั้งสองข้างด้วย 33

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน -7x-6y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-7x-6=1$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-7x=7$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=1$$